\documentclass[12pt, a4paper, oneside]{ctexbook}
\usepackage{amsmath, amsthm, amssymb, bm, graphicx, hyperref, mathrsfs}

\title{{\Huge{\textbf{命题逻辑的基本概念}}}}
\author{xxx}
\date{\today}
\linespread{1.5}
\newtheorem{theorem}{定理}[section]
\newtheorem{definition}[theorem]{定义}
\newtheorem{lemma}[theorem]{引理}
\newtheorem{corollary}[theorem]{推论}
\newtheorem{example}[theorem]{例}
\newtheorem{proposition}[theorem]{命题}

\begin{document}

\maketitle

% 从罗马数字1开始标注前言
\pagenumbering{roman}
\setcounter{page}{1}

\begin{center}
    \Huge\textbf{前言}
\end{center}~\

这是笔记的前言部分. 
~\\
\begin{flushright}
    \begin{tabular}{c}
        xxx\\
        \today
    \end{tabular}
\end{flushright}

\newpage
\pagenumbering{Roman}
\setcounter{page}{1}
\tableofcontents
\newpage
\setcounter{page}{1}
\pagenumbering{arabic}

\chapter{引言}

在这里可以输入笔记的内容. 

\section{小节标题}

这是笔记的正文部分. 

\chapter{命题联结词与真值表方法}

在这里可以输入笔记的内容. 

\section{小节标题}

这是笔记的正文部分. 

\chapter{命题逻辑的基本概念}
离开证明就没有当代逻辑.

\section{对象语言里的符号和公式}
\section{真值指派和公式的真值}
\begin{definition}
    一个真值指派是从$Pr$到$\{T,F\}$的函数$\sigma$，它对每个命题变号$p$指派一个真值$\sigma (p)$。
\end{definition}
\begin{definition}[真理定义]
    对所有的公式$\phi$，我们用$\phi^{\sigma}$表示$\phi$在$\sigma$的赋值，$\phi^{\sigma}$递归地定义如下（我们用“iff”表示当且仅当）：  \\
    \begin{gather*}%不会产生编号
        p_{n}^{\sigma} =T\ iff\ \sigma (p_{n})=T(n\ge 0)\\
        (\sim\psi)^{\sigma}=T\ iff\ \psi^{\sigma}=F\\
        (\psi\vee\chi)^{\sigma}=T\ iff\  \psi^{\sigma}=T \ or\ \chi^{\sigma}=T\\
        (\psi\wedge\chi)^{\sigma}=T\ iff\ \psi^{\sigma}=T \ and \ \chi^{\sigma}=T\\
        (\psi\rightarrow\chi)^{\sigma}=T\ iff\ \psi^{\sigma}=F\ or\ \chi^{\sigma}=T\\
        (\psi\leftrightarrow\chi)^{\sigma}=T\ iff\ \psi^{\sigma}=\chi^{\sigma}
    \end{gather*}
    
\end{definition}
\begin{definition}
    令$\Gamma$为任意$\mathscr{L}_{0}$-公式集（可以是无穷集），并令$\sigma$为任意真值指派。$\sigma$满足$\Gamma$（$\sigma\vDash\Gamma$）当且仅当对每个$\phi\in\Gamma$，$\phi^{\sigma}=T$。我们用$\sigma\vDash\phi$表示$\sigma\vDash\{\phi\}$，并用$\sigma\nvDash\Gamma$和$\sigma\nvDash\phi$分别表示$\sigma\vDash\Gamma$和$\sigma\vDash\phi$不成立。
\end{definition}
\section{重言蕴涵、重言等值与可满足性}
\begin{definition}
    令$\Gamma$为任意$\mathscr{L}_{0}$-公式集（可以是无穷集），$\phi$为任意$\mathscr{L}_{0}$-公式。$\Gamma$重言蕴涵$\phi$（$\Gamma\vDash_{0}\phi$）当且仅当对任意真值指派$\sigma$，如果$\sigma\vDash\Gamma$则$\sigma\vDash\phi$。$\phi$是$\Gamma$的重演后承当且仅当$\Gamma\vDash_{0}\phi$
\end{definition}
\begin{definition}
    $\mathscr{L}_{0}$-公式$\phi$和$\psi$重言等值当且仅当对每个真值指派$\sigma$，$\phi^{\sigma}=\psi^{\sigma}$。
\end{definition}
\begin{definition}
    令$\Gamma$为任意$\mathscr{L}_{0}$-公式集（可以是无穷集），$\phi$为任意$\mathscr{L}_{0}$-公式。$\Gamma$是可满足的当且仅当存在一个真值指派$\sigma$使得$\sigma\vDash\Gamma$；$\phi$是可满足的当且仅当$\{\phi\}$是可满足的。$\Gamma$（或$\phi$）是不可满足的当且仅当它不是可满足的。
\end{definition}
\section{重言式、矛盾式和或然式}
\begin{definition}
    对任意$\mathscr{L}_{0}$-公式$\phi$，$\phi$是重言式当且仅当对每一个真值指派$\sigma$，$\sigma\vDash\phi$。
\end{definition}
\begin{definition}
    对任意$\mathscr{L}_{0}$-公式$\phi$，$\phi$是矛盾式当且仅当对每一个真值指派$\sigma$，$\sigma\nvDash\phi$。
\end{definition}
\section{代入}
\begin{definition}
    代入是从\textbf{命题变号到公式集的函数}。我们用$\mathfrak{s}$，$\mathfrak{s^{\prime}}$等表示代入。
\end{definition}
\begin{definition}
    设$\mathfrak{s}$是一个代入。对所有公式$\chi$，公式$\chi(\mathfrak{s})$（对$\chi$做代入$\mathfrak{s}$的结果）递归地定义如下：
    \begin{itemize}
        \item 对所有命题变号p，$p(\mathfrak{s})=\mathfrak{s}(p)$
        \item 对所有公式$\phi$，$(\sim\phi)(\mathfrak{s})=\sim(\phi(\mathfrak{s}))$
        \item 对所有公式$\phi$和$\psi$，$(\phi\odot\psi)(\mathfrak{s})=\phi(\mathfrak{s})\odot\psi(\mathfrak{s})$，其中$\odot\in\{\vee,\wedge,\rightarrow和\leftrightarrow\}$。
    \end{itemize}
\end{definition}
\begin{definition}
    设代入$\mathfrak{s}$满足$\mathfrak{s}(q_{0})=\psi_{0},\cdots,\mathfrak{s}(q_{n})=\psi_{n}$，并且$\mathfrak{s}(r)=r$对所有不是$q_{0},\cdots,q_{n}$的命题变号$r$都成立。我们用$\psi_{0}/q_{0},\cdots,\psi_{n}/q_{n}$表示这个$\mathfrak{s}$，用$\phi(\psi_{0}/q_{0},\cdots,\psi_{n}/q_{n})$来表示$\phi(\mathfrak{s})$，并且称$\mathfrak{s}$为\textbf{有穷代入}。
\end{definition}
\begin{proposition}
    令$\phi$为任意公式，并令$\mathfrak{s}$和$\mathfrak{s^{\prime}}$为任意代入。设$\phi$中出现的命题变号是在$q_{0},\cdots,q_{n}$之中，并且$\mathfrak{s}(q_{0})=\mathfrak{s^{\prime}}(q_{0}),\cdots,\mathfrak{s}(q_{n})=\mathfrak{s^{\prime}}(q_{n})$。我们有：$\phi(\mathfrak{s})=\phi(\mathfrak{s^{\prime}})$
\end{proposition}
\begin{definition}
    设$\mathfrak{s}^\prime$和$\mathfrak{s}^{\prime\prime}$为任意代入，我们用$\mathfrak{s}^\prime\mathfrak{s}^{\prime\prime}$表示它们的复合，即满足下列条件的代入$\mathfrak{s}$：

对任意命题变号$p$，$\mathfrak{s}(p)=p(\mathfrak{s}^\prime)(\mathfrak{s}^{\prime\prime})$，即$\mathfrak{s}(p)=(\mathfrak{s}^\prime(p))(\mathfrak{s}^{\prime\prime})$。我们用$\phi(\mathfrak{s}^\prime\mathfrak{s}^{\prime\prime})$来表示$\phi(\mathfrak{s})$
\end{definition}
\begin{proposition}
    对任意代入，对任意公式$\phi$，$\phi(\mathfrak{s}^\prime\mathfrak{s}^{\prime\prime})=\phi(\mathfrak{s}^\prime)(\mathfrak{s}^{\prime\prime})$。
\end{proposition}
\section{代入的语义性质}
\begin{theorem}
    设$\phi$为任意公式。其中出现的命题变号只有$q_0,\cdots,q_n$，设$\sigma$和$\sigma^{\prime}$为任意真值指派，满足$\psi_0^\sigma=\chi_0^{\sigma^{\prime}},\cdots,\psi_n^\sigma=\chi_n^{\sigma^{\prime}}$。我们有$\sigma\vDash\phi(\psi_{0}/q_0,\cdots,\psi_{n}/q_n)$当且仅当$\sigma^{\prime}\vDash\phi(\chi_{0}/q_0,\cdots,\chi_{n}/q_n)$
\end{theorem}
\begin{theorem}
    令$\phi$为任意公式，其中出现的命题变号只有$q_0,\cdots,q_n$，设$\sigma$和$\sigma^{\prime}$为任意真值指派，满足$\sigma^{\prime}(q_0)=\psi_0^\sigma,\cdots,\sigma^{\prime}(q_n)=\psi_n^{\sigma}$。我们有：对任意代入5，如果$\mathfrak{s}(q_{0})=\psi_{0},\cdots,\mathfrak{s}(q_{n})=\psi_{n}$，那么$\sigma\vDash\phi(\mathfrak{s})$当且仅当$\sigma^{\prime}\vDash\phi$
\end{theorem}
\begin{corollary}
    设$\sigma$为任意真值指派，且对于每个$i=0,\cdots,n$都有$\psi_i^\sigma=\chi_i^{\sigma}$。我们有，对所有公式$\phi$和所有命题变号$q_0,\ldots,q_n$，$\sigma\vDash\phi(\psi_{0}/q_0,\cdots,\psi_{n}/q_n)$当且仅当$\sigma\vDash\phi(\chi_{0}/q_0,\cdots,\chi_{n}/q_n)$
\end{corollary}
\begin{corollary}
    设 $\Gamma\vDash_{0}\psi\leftrightarrow\chi$。我们有：对每个公式 $\phi$ 和每个命题变号p，$\Gamma\vDash_{0}\phi(\psi/p)\leftrightarrow\phi(\chi/p)$
\end{corollary}
\begin{corollary}
    设 $\Gamma\vDash_{0}\psi\leftrightarrow\chi$。我们有：对$\phi$的每个$\chi/\psi$-置换结果$\phi^{\prime}$，$\Gamma\vDash\phi\leftrightarrow\phi^{\prime}$
\end{corollary}
\begin{corollary}
    如果$\psi$和$\chi$重言等值，那么$\phi$和它的所有$\chi/\psi$-置换结果都重言等值。
\end{corollary}
\end{document}